Question

已知A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上異于原點O的兩點，則“

OA

•

OB

=0”是“直線AB恒過定點（2p，0）”的（　　）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．非充分非必要條件

Answer 1

分析：根據題意，利用拋物線方程設出A、B兩點的坐標，根據向量共線的條件列式并利用拋物線方程化簡整理，對充分性和必要性分別加以論證，可得答案．

解答：解：設點A，B的坐標分別為A（

1

2p

y₁²，y₁），B（

1

2p

y₂²，y₂）
充分性：若“

OA

•

OB

=0”成立，則

1

2p

y₁²•

1

2p

y₂²+y₁y₂=0，結合y₁y₂不等于0得

1

4p2

y₁y₂+1=0
∴y₁y₂=-4p²，
設C（2p，0），可得向量

AC

=（2p-

1

2p

y₁²，-y₁），

BC

=（2p-

1

2p

y₂²，-y₂），
∵（2p-

1

2p

y₁²）（-y₂）-（-y₁）（2p-

1

2p

y₂²）
=2p（y₁-y₂）+

1

2p

y₁²y₂-2p-

1

2p

y₂²y₁=

1

2p

（y₁-y₂）（4p²+y₁y₂）=

1

2p

（y₁-y₂）（4p²-4p²）=0
∴

AC

與

BC

共線，可得直線AB一定經過點C（2p，0），
結論“直線AB恒過定點（2p，0）”成立，可得充分性成立
必要性：若“直線AB恒過定點（2p，0）”成立，
設C（2p，0），則向量

AC

=（2p-

1

2p

y₁²，-y₁），

BC

=（2p-

1

2p

y₂²，-y₂），
∵

AC

與

BC

共線，
∴（2p-

1

2p

y₁²）（-y₂）-（-y₁）（2p-

1

2p

y₂²）=0
化簡得

1

2p

（y₁-y₂）（4p²+y₁y₂）=0，
由于y₁-y₂不可能為0，所以4p²+y₁y₂=0，可得y₁y₂=-4p²，
因此，

OA

•

OB

=

1

2p

y₁²•

1

2p

y₂²+y₁y₂=y₁y₂（

1

4p2

y₁y₂+1）=0，
即結合“

OA

•

OB

=0”成立，故必要性成立
故選：C

點評：本題給出拋物線方程，判定關于直線過定點的一個充分必要條件．著重考查了拋物線的簡單幾何性質、向量共線的條件和充要條件的證明等知識，屬于中檔題．