Question

【題目】已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動．

（Ⅰ）求證：D1E⊥A1D；

（Ⅱ）在棱AB上是否存在點E使得AD1與平面D1EC成的角為？若存在，求出AE的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）要證，由正方形有，因此要證平面，而要證此線面垂直，只要證，這由長方體的性質可得；（Ⅱ）假設存在，以D為原點，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，并設，用向量法求出AD1與平面D1EC成的角，從而求出，若能求出，說明存在，若不能求出，說明不存在．

試題解析：

（Ⅰ）證明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D平面AA1DD1，

∴AE⊥A1D，

∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，

∴A1D⊥AD1，

∵AE∩AD1=A，∴A1D⊥平面AED1，

∵D1E平面AED1，∴A1D⊥D1E．

（Ⅱ）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

設棱AB上存在點E（1，t，0），（0≤t≤2），使得AD1與平面D1EC成的角為，

A（1，0，0），D1（0，0，1），C（0，2，0），

=（﹣1，0，1），=（0，﹣2，1），=（1，t﹣2，0），

設平面D1EC的法向量為=（x，y，z），

則，取y=1，得=（t﹣1，1，2），

∴，

整理，得t2﹣10t+12=0，

解得或（舍），

∴在棱AB上存在點E使得AD1與平面D1EC成的角為，AE=．