Question

（本小題滿分14分）

已知a∈R，函數，g(x)=(lnx-1)e^x+x（其中e為自然對數的底數）．（1）判斷函數f(x)在上的單調性；（2）是否存在實數，使曲線y=g(x)在點x=x₀處的切線與y軸垂直? 若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．（3）若實數m,n滿足m>0, n>0,求證：nⁿe^m≥mⁿeⁿ.

 

Answer 1

【答案】

 

解（1）∵，，∴． ……1分

①若，則，在上單調遞增；                  ……2分

②若，當時，，函數在區間上單調遞減，

當時，，函數在區間上單調遞增，            ……4分

③若，則，函數在區間上單調遞減.   ……5分

（2）解：∵，，

， ……6分

由（1）易知，當時，在上的最小值：，即時，．                                    ……8分

又，∴．                     ……9分

曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解．

而，即方程無實數解．故不存在.                  ……10分

（3）證明：

，由（2）知，令得.……14分

 

【解析】略