Question

直線l與拋物線y²=2x相交于A、B兩點，O為拋物線的頂點，若OA⊥OB．證明：直線l過定點．

Answer 1

分析：聯立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，建立關于參數k，b的關系，消去b可得y=kx-2k=k（x-2），顯然直線恒過（2，0），注意對直線的斜率的討論．

解答：證明：設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）當直線l有存在斜率時，設直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．（2分）
聯立方程得：

y=kx+b y2=2x

消去y得k²x²+（2kb-2）x+b²=0
由題意：x1x2=

b2

k2

，&

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=

2b

k

（5分）
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
即

b2

k2

+

2b

k

=0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）
故直線l的方程為：y=kx-2k=k（x-2），故直線過定點（2，0）（11分）
（II）當直線l不存在斜率時，設它的方程為x=m，顯然m＞0
聯立方程得：

x=m y2=2x

解得y=±

2m

，即y₁y₂=-2m
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直線l方程為：x=2，故直線過定點（2，0）
綜合（1）（2）可知，滿足條件的直線過定點（2，0）．

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，以及證明直線恒過定點，屬于基礎題．