Question

【題目】已知等差數列{an}前5項和為50，a7=22，數列{bn}的前n項和為Sn ， b1=1，bn+1=3Sn+1． （Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{cn}滿足 ，n∈N* ， 求c1+c2+…+c2017的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d．

依題意得 ，

解得a1=4，d=3，

所以an=a1+（n﹣1）d=3n+1．

當n=1時，b2=3b1+1=4，

當n≥2時，bn+1=3Sn+1，bn=3Sn﹣1+1，

以上兩式相減得bn+1﹣bn=3bn，則bn+1=4bn，

又b2=4b1，所以bn+1=4bn，n∈N*．

所以{bn}為首項為1，公比為4的等比數列，

所以 ．

（Ⅱ）因為 ，n∈N*

當n≥2時， ，

以上兩式相減得 ，所以 ，n≥2．

當n=1時， ，所以c1=a2b1=7，不符合上式，

所以c1+c2+…+c2017=7+3（4+42+…+42016）=

【解析】（I）設等差數列{an}的公差為d，利用等差數列的通項公式及其前n項和公式即可首項和公差，即可求出數列{an}的通項公式，再根據數列的遞推公式可得所以{bn}為首項為1，公比為4的等比數列，即可求出數列{bn}的通項公式（II）根據數列的遞推公式先求出{cn}的通項公式，再分組求和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．