Question

如圖，l₁，l₂是通過某市開發區中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關于直線L₁對稱．M到L₁、L₂的距離分別是2 km、4km，N到L₁、L₂的距離分別是3km、9km．
（1）建立適當的坐標系，求拋物線弧MN的方程．（2）該市擬在點0的正北方向建設一座工廠，考慮到環境問題，要求廠址到點0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于

6

km．求此廠離點0的最近距離．（注：工廠視為一個點）

Answer 1

分析：（1）分別以l₁、l₂為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則M，N的坐標可知，設MN所在拋物線的方程把M和N代入即可求得a和c，則拋物線方程可得．
（2）設出拋物線上任一點P的坐標，廠址為點A，進而根據兩點間的距離公式表示出|PA|，進而根據|PA|的范圍求得x和t的不等式關系，令u=x²，進而求得u的范圍，推斷出對于任意的u∈[4，9]，不等式u²+（1-2t）u+（t²-6）≥0恒成立，設f（u）=u²+（1-2t）u+（t²-6），根據t的范圍確定-

1-2t

2

的范圍，進而利用△≤0求得t的最小值．

解答：解：（1）分別以l₁、l₂為x軸、y軸建立如圖所示的
平面直角坐標系，則M（2，4），N（3，9）
設MN所在拋物線的方程為y=ax²+c，則有

4=4a+c 9=9a+c

，解得

a=1 c=0

∴所求方程為y=x²（2≤x≤3）
（2）設拋物線弧上任意一點P（x，x²）（2≤x≤3）
廠址為點A（0，t）（5＜t≤8），由題意得|PA|=

x2+(x2-t)2

≥

6

∴x⁴+（1-2t）x²+（t²-6）≥0
令u=x²，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9
∴對于任意的u∈[4，9]，不等式u²+（1-2t）u+（t²-6）≥0恒成立（*）
設f（u）=u²+（1-2t）u+（t²-6），∵5＜t≤8
∴

9

2

＜-

1-2t

2

≤

15

2

．
要使（*）恒成立，需△≤0，即（2t-1）²-4（t²-6）≤0
解得t≥

25

4

，∴t的最小值為

25

4

所以，該廠距離點O的最近距離為6.25km

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生分析問題和解決實際問題的能力．