Question

某生物興趣小組對A、B兩種植物種子的發芽率進行驗證性實驗，每實驗一次均種下一粒A種子和一粒B種子．已知A、B兩種種子在一定條件下每粒發芽的概率分別為

1

2

，

2

3

．假設兩種種子是否發芽互相不受影響，任何兩粒種子是否發芽互相也沒有影響．
（1）求3粒A種子，至少有一粒未發芽的概率；
（2）求A、B各3粒種子，A至少2粒發芽且B全發芽的概率；
（3）假設對B種子的實驗有2次發芽，則終止實驗，否則繼續進行，但實驗的次數最多不超過5次，求對B種子的發芽實驗終止時，實驗次數ξ的概率分布和數學期望．

Answer 1

分析：（1）先求出事件“3粒都發芽”的概率，然后利用對立事件的概率公式求出3粒A種子，至少有一粒未發芽的概率；
（2）利用互斥事件的概率公式求出）“A至少2粒發芽”，然后利用相互獨立事件的概率公式求出事件的概率；
（3）利用相互獨立事件的概率公式求出隨即變量ξ取每一個值的概率值，列出分布列，利用隨機變量的期望公式求出期望．

解答：解：（1）“至少有一粒未發芽”與“3粒都發芽”的對立事件；
3粒都發芽”的概率為：(

1

2

)3=

1

8

，
所以“至少有一粒未發芽”概率為1-

1

8

=

7

8

（2）“A至少2粒發芽”包含“3粒都發芽”和“只有2粒發芽”
所以“A至少2粒發芽”的概率為(

1

2

)3+

C

2 3

 (

1

2

)2•

1

2

=

1

2

，
B全發芽的概率為(

2

3

)3=

8

27

，
所以A至少2粒發芽且B全發芽的概率為

1

2

×

8

27

=

4

27

，
（3）ξ可能的取值有2，3，4，5
P（ξ=2）=(

2

3

)2=

4

9

，
P（ξ=3）=

C

1 2

 ×

2

3

×

1

3

×

2

3

=

8

27

，
P（ξ=4）=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=5）=

C

1 4

×

2

3

×(

1

3

)3+(

1

3

)4=

9

81

，
所以實驗次數ξ的概率分布列：

所以ξ的數學期望為：Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

9

81

=

79

27

點評：本題考查相互獨立事件的概率公式、互斥事件的概率、對立事件的概率公式及求隨機變量的分布列及期望的方法，屬于一道中檔題．