Question

已知平面內一動點到點的距離與點到軸的距離的差等于1．（I）求動點的軌跡的方程；（II）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與軌跡相交于點，與軌跡相交于點，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）和（）；（2）時，取最小值16．

【解析】

試題分析：（1）設動點的坐標為，由題意得     2分

化簡得 當時；當時

所以動點的軌跡的方程為和（）     5分

（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為．

由設則

，    6分

因為，所以的斜率為．設，則同理可得   ，    7分

    10分

    12分

當且僅當即時，取最小值16．  13分

考點：本題主要考查軌跡方程求法，直線與拋物線的位置關系，均值定理的應用。

點評：中檔題，本題求軌跡方程時，應用了“定義法”。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題在確定得到的基礎上，應用均值定理，使問題得解。