Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，已知向量

m

=（sinB，1-cosB）與向量

n

=（0，1） 的夾角為

π

6

，
求：（I） 角B 的大小；   （Ⅱ） 

a+c

b

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意向量

m

=（sinB，1-cosB）與向量

n

=（0，1） 的夾角為

π

6

，利用向量的夾角公式可以得到1-cosB=

2-2cosB

×

3

2

，解三角方程即可；
（II）由題意利用正弦定把

a+c

b

這個式子化為角A的三角函數式子，利用角A的范圍及三角函數知識即可求得．

解答：解：（I）1-cosB=

2-2cosB

×

3

2

，1-cosB=

3

2

，cosB=-

1

2

，
∴0＜B＜π，B=

2π

3

．
（II）由正弦定理得：

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=

2

3

[sinA+sin(

π

3

-A)]=

2

3

(sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA)=

2

3

(A+

π

3

)

∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，∴

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1，
∴1＜

a+c

b

≤

2 3

3

，故

a+c

b

的取值范圍是（1，

2 3

3

]．

點評：此題考查了兩向量平行的坐標表示的從要條件，還考查了解三角方程，正弦定理，已知角的范圍求三角函數的值域．