Question

已知圓（x-1）²+（y-1）²=1和點A（2a，0），B（0，2b）且a＞1，b＞1．
（1）若圓與直線AB相切，求a和b之間的關系式；
（2）若圓與直線AB相切且△AOB面積最小，求直線AB的方程．（O為坐標原點）

Answer 1

分析：（1）由題意，先由截距式得出直線AB的方程，再由點到直線的距離公式得出圓心到直線AB的距離，令其等于半徑r，即可得到a和b之間的關系式；
（2）先用a，b表示出△AOB面積，再結合（1）的結論，利用基本不等式得到關于ab的不等式解出ab的最小值，從而求得a，b的值，得出直線AB的方程

解答：解：（1）由題意得，點A（2a，0），B（0，2b）且a＞1，b＞1可得直線AB的方程為

x

2a

+

y

2b

=1，即bx+ay=2ab．
因為直線AB與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，故圓以（1，1）到直線AB的距離為1，即

|b+a-2ab|

a2+b2

=1
整理得2ab=2a+2b-1
（2）S_AOB=

1

2

×2a×2b=2ab
由（1）知2ab=2a+2b-1
≥4

ab

-1，等號當且僅當a=b時成立，
解不等式2ab≥4

ab

-1得，

ab

≥

2+ 2

2

，即ab≥

3

2

+

2

所以S_AOB≥3+2

2

，當且僅當a=b=

2+ 2

2

時取等號
此時直線AB的方程為x+y-（2+

2

）=0

點評：本題考查了基本不等式及直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，有一定的綜合性，考查了轉化化歸的思想及方程的思想，利用基本不等式等號成立的條件得出參數a，b的值是解題的關鍵