Question

已知關x的一元二次函數f（x）=ax²-bx+1，設集合P={1，2，3}Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數a和b得到數對（a，b）．
（1）列舉出所有的數對（a，b）并求函數y=f（x）有零點的概率；
（2）求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

分析：（1）依次從集合PQ中選取兩個數組成數對，然后再找出滿足△=b²-4a≥0的數對個數，再與總數對個數相比可求出答案．
（2）因為a＞0所以函數f（x）是開口向上的二次函數，只要數對滿足對稱軸x=

b

2a

≤1即可保證y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，求出數對個數后再與總個數相比可得答案．

解答：解：（1）（a，b）共有（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15種情況
函數y=f（x）有零點，△=b²-4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況滿足條件
所以函數y=f（x）有零點的概率為

6

15

=

2

5

（2）函數y=f（x）的對稱軸為x=

b

2a

，在區間[1，+∞）上是增函數則有

b

2a

≤1，（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13種情況滿足條件
所以函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率為

13

15

點評：本題主要考查概率的列舉法和二次函數的單調性問題．對于概率是從高等數學下放的內容，一般考查的不會太難但是每年必考的內容要引起重視．