Question

已知函數f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區間[0，1]單調遞增，在區間[1，2）單調遞減．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若A（x₀，f（x₀））在函數f（x）的圖象上，求證點A關于直線x=1的對稱點B也在函數f（x）的圖象上；
（Ⅲ）是否存在實數b，使得函數g（x）=bx²-1的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的值；若不存在，試說明理由

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在區間[0，1]單調遞增，在區間[1，2）單調遞減，得到在x=1處取得極大值即f'（1）=0．從而求解．
（Ⅱ）先求點A（x₀，f（x₀））關于直線x=1的對稱點B的坐標驗證即可．
（Ⅲ）函數g（x）=bx²=bx²-1的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，等價于方程x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1恰有3個不等實根，轉化為x⁴-4x³+（4-b）x²=0有三個根求解，要注意0是其中一根則轉化為方程x⁴-4x³+（4-b）x²=0有2個非零且不等的實數根求解．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區間[0，1]單調遞增，
在區間[1，2）單調遞減，所以x=1時，取得極大值．
所以f'（1）=0．（2分）
因為f'（x）=4x³-12x²+2ax，
所以4-12+2a=0．解得a=4．（4分）
（Ⅱ）因為點A（x₀，f（x₀））關于直線x=1的對稱點B的坐標為（2-x₀，f（x₀）），
且f（2-x₀）=（2-x₀）⁴-4（2-x₀）³+4（2-x₀）²-1x₀⁴-4x₀³+4x₀²-1=f（x₀）．（8分）
所以點A關于直線x=1的對稱點B也在函數f（x）的圖象上．
（Ⅲ）因為函數g（x）=bx²=bx²-1的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，
等價于方程x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1恰有3個不等實根．
由x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1得x⁴-4x³+（4-b）x²=0．
因為x=0是其中一個根，
所以方程x⁴-4x³+（4-b）x²=0有2個非零且不等的實數根．（12分）
故由

△=16-4(4-b)＞0 4-b≠0

得b＞0且b≠4.（14分）

點評：本題主要考查用極值求參數的值，要明確單調性，同時還考查了方程根的問題，一般要轉化為函數的最值來解決．