Question

【題目】如圖，點是菱形所在平面外一點， ， 是等邊三角形， ， ， 是的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面的所成角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）見解析; （Ⅲ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）要證明與平面平行，只要找到一條平行線，由于是中點， 與的交點是中點，則必有，從而有線面平行；

（Ⅱ）要證面面垂直，就要證線面垂直，從圖形中知，在，計算后可得，從而于是有線面垂直，從而得面面垂直；

（Ⅲ）易證平面，從而知為在平面內的射影，因此就是直線與平面所成的角，在中求解可得．

試題解析：

（Ⅰ）證明：連接.

在菱形中， 為中點，且點為中點，

所以，

又平面， 平面.

所以平面

（Ⅱ）證明：在等邊三角形中，

， 是的中點，所以.

在菱形中， ， ，

所以.

又，所以，所以.

在菱形中， .

又，所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（Ⅲ）因為平面， 平面，所以

又因為， 為中點，所以

又，所以平面，則為直線在平面內的射影，

所以平面為直線與平面的所成角

因為，所以，

在中， ，所以

所以直線與平面的所成角為.