Question

已知A、B分別為直二面角αlβ的面α、β內的點,AB與α、β所成的角分別為45°、30°,又AC⊥l于C,BD⊥l于D,求二面角CABD的大小.

Answer 1

解：AC⊥平面β∠ABC=30°.

    同理,∠BAD=45°.

    設AC=1,則BC=,BD=AD=,CD=1.

    設、、的單位向量分別為a、b、c,在△BCD中,

    CB=,CD=1,故cos∠BCD=,

    ∴a·b=,b·c=0,c·a=0.

   過C、D分別作AB的垂線,垂足分別為E、F,且F是AB的中點,

    =(+)=(c-b+a-b)=(a-2b+c),

    由于A、E、B三點共線,∴可設=x+(1-x) =x·3a+(1-x)·c.

    又=-=a-c且⊥,

    ∴·=［xa+(1-x)c］·(a-c)=4x-1=0.∴x=.

    故=(a+c),

    ·=·=(a-2b-c)·(a+c)=,

    又²=(a+c)²=,

    ∴||=.

    同理,| |=1.

    ∴cos〈,〉===.

    ∴二面角CABD的大小為arccos.