Question

在平面直角坐標系xoy中，橢圓方程為=1（a＞b＞0）．以O為圓心，a為半徑作圓M，若過點P（a，2b）所作圓M的兩條切線為PA、PB，且|AB|=2b，則該橢圓的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題設知|PA|=|PB|=|AB|=2b，連接PM，則∠APM=30°，PA⊥MA，故|PM|=2|MA|=2a，由此能求出該橢圓的離心率．
解答：解：∵橢圓方程為=1（a＞b＞0）．以O為圓心，a為半徑作圓M，
過點P（a，2b）所作圓M的兩條切線為PA、PB，且|AB|=2b，
∴|PA|=|PB|=|AB|=2b，
連接PM，則∠APM=30°，PA⊥MA，
∴|PM|=2|MA|=2a，
∵|PM|=，
∴2a=，
解得a=b，c=，
∴該橢圓的離心率e==．
故答案為：．
點評：本題考查橢圓的離心率的求法，具體涉及到橢圓和圓的簡單性質，直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．