Question

（2008•襄陽模擬）在△ABC中，AC=2

3

，點B是橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的上頂點，l是雙曲線x²-y²=-2位于x軸下方的準線，當AC在直線l上運動時．
（1）求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；
（2）過定點F（0，

3

2

）作互相垂直的直線l₁、l₂，分別交軌跡E于點M、N和點R、Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出B點坐標以及直線l的方程，再根據△ABC外接圓的圓心時三邊垂直平分線的交點，也即AC，AB垂直平分線，再利用垂直平分線的性質，用消參法求出P的軌跡E的方程．
（2）先設直線l₁、l₂，其中一條的方程．因為兩直線互相垂直，所以另一條直線方程也可知，在分別于軌跡E的方程聯立，求|MN|，|RQ|，再帶著參數求四邊形MRNQ的面積，用均值不等式求最小值．

解答：解：（1）由橢圓方程

x2

5

+

y2

4

=1及雙曲線方程x²-y²=-2可得點B（0，2），直線l的方程是y=-1．
∵AC=2

3

，且AC在直線l上運動．
可設A(m-

3

，-1)，C(m+

3

，-1)，則AC的垂直平分線方程為x=m①
AB的垂直平分線方程為y-

1

2

=

m- 3

3

(x-

m- 3

2

)②
∵P是△ABC的外接圓圓心，∴點P的坐標（x，y）滿足方程①和②．
由①和②聯立消去m得：y=

1

2

+

x- 3

3

(x-

x- 3

2

)，即y=

1

6

x2．
故圓心P的軌跡E的方程為x²=6y
（2）如圖，直線l₁和l₂的斜率存在且不為零，設l₁的方程為y=kx+

3

2

∵l₁⊥l₂，∴l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

由

y=kx+ 3 2 y= 1 6 x2

得x²-6kx-9=0∵△=36k²+36＞0，∴直線l₁與軌跡E交于兩點．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

36k2+36

=6(1+k2)
同理可得：|RQ|=6(1+

1

k2

)
∴四邊形MRNQ的面積S=

1

2

|MN|•|QF|+

1

2

|MN|•|RF|=

1

2

|MN|（|QF|+|RF|）=

1

2

|MN|•|RQ|=36(1+k2)(1+

1

k2

)×

1

2

=18(k2+

1

k2

+2)≥18(2+2

k2• 1 k2

)=72
當且僅當k²=

1

k2

，即k=±1時，等號成立．故四邊形MRNQ的面積的最小值為72．

點評：本題考查了消參法求軌跡方程，以及圓錐曲線與均值不等式聯系求最值．