Question

已知點(diǎn)F₁、F₂分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該雙曲線上一點(diǎn)，若△PF₁F₂為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：求雙曲線的離心率，即求參數(shù)a，c的關(guān)系，本題中給出了三角形PF₁F₂為等腰三角形這一條件，由相關(guān)圖形知，角F₁或角F₂為直角，不妨令角F₂為直角，則有PF₂=F₁F₂，求出兩線段的長(zhǎng)度，代入此方程，整理即可得到所求的離心率．

解答：解：由題意，角F₁或角F₂為直角，不妨令角F₂為直角，雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1
此時(shí)P（c，y），代入雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1
解得y=±

b2

a

又三角形PF₁F₂為等腰三角形得PF₂=F₁F₂，
故得

b2

a

=2c，即2ac=c²-a²，
即e²-2e-1=0，解得e=1±

2

故雙曲線的離心率是

2

+1
故答案為

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．