Question

等差數列{a_n}的公差和等比數列{b_n}的公比都是d（d≠1），且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀．
（1）求實數a₁和d的值；
（2）b₁₆是不是{a_n}中的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由．

Answer 1

(1)a_n=a₁+(n-1)d，b_n=b₁q^n-1=a₁d^n-1．
由得
即．
兩式相除整理得d⁹+3d³+2=0．
解得d³=-2或d³=1（舍去）．
∴d=-．
代入原方程中得a₁=．
∴a₁=，d=-．
(2)由(1)得數列{a_n}、{b_n}的通項分別為
a_n=(2-n)，b_n=-(-)ⁿ．
故b₁₆=-(-)¹⁶=-32．
由(2-n)=-32，
解得n=34．
故b₁₆是數列{a_n}中的第34項.

根據題設可知本題的等差數列、等比數列中的各項都能用a₁和d表示，從而可建立起關于a₁和d的方程組，可解出a₁和d．