Question

【題目】已知函數(shù)，（）.

（1）若，求在上的最小值；

（2）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用基本不等式求解最值；

（2）轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求參數(shù)的取值范圍；

（3）函數(shù)去絕對(duì)值，等價(jià)轉(zhuǎn)化為比較與的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解.

（1）對(duì)于，，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.

（2）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，亦即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，

所以，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立.

又對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，

故只需，解得，所以的取值范圍為.

（3），

因?yàn)?/span>與的底數(shù)都同為e，外函數(shù)都單調(diào)遞增，

所以，比較與的大小關(guān)系，只須比較與的大小關(guān)系.

令，，

，其中，.

因?yàn)?/span>，所以.

令，得，由題意可得如下圖象：

（i）當(dāng)，即時(shí)，，；

（ii）當(dāng)，即時(shí)，，；

（iii）當(dāng)，即時(shí)，，；

綜上所述，.