Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=1，AD=2，E為BC的中點，點M為棱AA₁的中點．
（1）證明：BM∥平面A₁ED；
（2）證明：平面A₁DE⊥平面A₁AE．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理證明．（2）利用面面垂直的判定定理證明．

解答：解：（I）連結AD₁交AD于O，則O為中點，
所以OM∥AD，OM∥BE，且OM=

1

2

BC=BE，
所以四邊形BEOM為平行四邊形，所以BM∥OE，
因為BM∥OE，BM?平面A₁ED，OE?平面A₁ED；
所以BM∥平面A₁ED；
（Ⅱ）在△AED中，AE=DE=

2

，AD=2

∴AE⊥DE

，
∵A1A⊥平面ABCD，
所以AA₁⊥DE，又因為AA₁∩AE=A，
所以DE⊥面A₁AE，
又DE?平面A₁DE，
所以平面A₁DE⊥平面A₁AE．

點評：本題主要考查線面平行和面面垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理．