Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，PA⊥平面ABCD，DE∥PA，且PA=2DE=2，F是PC的中點．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）求點A到平面PCE的距離；
（3）求平面PCE與面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證明EF∥平面ABCD，關鍵是要在平面ABCD中找到一條與EF平行的直線，我們不妨AC∩BD=O，連接OF，則易證ODEF為平行四邊形，進而得到EF∥OD，然后根據線面平行的判定定理即可得到結論．
（2）由已知條件，我們易得到平面PCE⊥平面PAC，則過A點做PC的垂線，垂足為H，則AH即為點A到平面PCE的距離，解△PAC，易得結果．
（3）延長PE與AD交于點G，則CG即為兩面角的棱，注意到PA=2DE=2，F是PC的中點，我們易得GC⊥PC，且GC⊥AC，則∠PCA為二面角P-CG-A的平面角，解三角形PAC即可得到結論．

解答：解：（1）設AC∩BD=O，連接OF，
則OF

∥

.

1

2

PA

∥

.

DE，
∴ODEF為平行四邊形．
故EF∥平面ABCD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC．
∵EF∥BD，∴EF⊥平面PAC．
又EF?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAC．
作AH⊥PC，垂足為H，則AH⊥平面PCE．
∴AH為點A到平面PCE的距離
在Rt△PAC中，
AH=

PA•AC

PC

=

2×2 2

22+(2 2 )2

=

2

3

6

．
∴點A到平面PCE的距離為

2

3

6

．
（3）設PE∩AD=G，連接CG．∵PA=2DE，
∴AD=DG，從而CG∥BD，又BD⊥平面PAC，∴CG⊥平面PAC．
∴∠PCA為二面角P-CG-A的平面角．
在Rt△PAC中，cos∠PCA=

AC

PC

=

6

3

，
∴平面PCE與面ABCD所成銳二面角的余弦值為

6

3

．

點評：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠PCA為二面角P-CG-A的平面角，通過解∠PCA所在的三角形求得∠PCA．其解題過程為：作∠PCA→證∠PCA是二面角的平面角→計算∠PCA，簡記為“作、證、算”．