Question

已知點P為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一動點，橢圓C左，右頂點分別為A，B，左焦點為F，若|PF|最大值與最小值分別為4和2．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知直線l過點A且傾斜角為30°，點M為橢圓C長軸上一動點，且點M到直線l的距離等于|MB|，若連接PM并延長與橢圓C交于點Q，求S_△APQ的最大值．

Answer 1

分析：（1）設c是此橢圓的半焦距，由于|PF|最大值與最小值分別為4和2，可得

a+c=4 a-c=2

，解出即可；
（2）由（1）可知A（-3，0），B（3，0）．又k=tan30°=

3

3

．可得直線l的方程為y=

3

3

(x+3)，設M（m，0），（-3≤m≤3），利用點到直線的距離公式可得點M到直線l的距離d，又|BM|=3-m，d=|MB|，解得m=1．M（1，0）．設直線PQ的方程為：my=x-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯立即可得到根與系數的關系，利用點到直線的距離公式可得點A到直線l的距離d₁，利用弦長公式可得|PQ|，即可得到S_△APQ=

1

2

d1|PQ|，再利用導數研究其單調性最值即可得出．

解答：解：（1）設c是此橢圓的半焦距，∵|PF|最大值與最小值分別為4和2，
∴

a+c=4 a-c=2

，解得a=3，c=1，
∴b²=a²-c²=8．
∴橢圓C的標準方程是

x2

9

+

y2

8

=1．
（2）如圖所示，
由（1）可知A（-3，0），B（3，0）．
又k=tan30°=

3

3

．
∴直線l的方程為y=

3

3

(x+3)，化為x-

3

y+3=0．
設M（m，0），（-3≤m≤3），則點M到直線l的距離d=

|m+3|

1+( 3 )2

=

3+m

2

，
又|BM|=3-m，d=|MB|，∴

3+m

2

=3-m，解得m=1．∴M（1，0）．
設直線PQ的方程為：my=x-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯立

my=x-1 x2 9 + y2 8 =1

，化為（8m²+9）y²+16my-64=0，
顯然△＞0．
∴y1+y2=-

16m

8m2+9

，y1y2=

-64

8m2+9

．
∴|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[( 16m 8m2+9 )2+ 4×64 8m2+9 ]

=

48(1+m2)

8m2+9

．
點A到直線l的距離d=

4

1+m2

．
∴S_△APQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

×

4

1+m2

×

48(1+m2)

8m2+9

=

96 1+m2

8m2+9

．
令

1+m2

=t≥1，g（t）=S（m）=

96t

8t2+1

．
g′(t)=

96(1-8t2)

(8t2+1)2

＜0，因此g（t）在[1，+∞）上單調遞減，
∴S（m）=g（t）≤g（1）=

96

8+1

=

32

3

．當且僅當m=0即PQ⊥x軸時取等號．
∴當PQ⊥x軸時，S_△APQ的最大值為

32

3

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、點到直線的距離公式、弦長公式、三角形的面積公式、利用導數研究函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．