Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 點 為短軸的一個端點，∠OF2B=60°．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，過右焦點F2 ， 且斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AD分別交直線x=3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′．試問kk′是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）由條件可知 ，故所求橢圓方程為 ．（2）設過點F2（1，0）的直線l方程為：y=k（x﹣1）．
由 可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
因為點F2（1，0）在橢圓內，所以直線l和橢圓都相交，即△＞0恒成立．
設點E（x1 ， y1），D（x2 ， y2），
則 ．
因為直線AE的方程為： ，直線AD的方程為： ，
令x=3，可得 ， ，所以點P的坐標 ．
直線PF2的斜率為 = = = =
= ，
所以kk'為定值 ．

【解析】（1）由條件可知 ，故求的橢圓方程．（2）設過點F2（1，0）的直線l方程為：y=k（x﹣1）．由 可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．因為直線AE的方程為： ，直線AD的方程為： ，從而列式求解即可．