Question

已知雙曲線C：2x²－y²＝2與點(diǎn)P(1,2)．求過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；

Answer 1

當(dāng)k＝±或k＝或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)．

本試題主要是考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。根據(jù)已知中的曲線方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，然后聯(lián)立方程組，進(jìn)而結(jié)合方程有一個(gè)解，得到參數(shù)k的范圍和參數(shù)k的值。
解：設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－1)，
代入雙曲線C的方程，整理得
(2－k²)x²＋2(k²－2k)x－k²＋4k－6＝0(*)
當(dāng)2－k²＝0，即k＝±時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)．
②當(dāng)2－k²≠0時(shí)，令Δ＝0，得k＝.此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)．
又點(diǎn)(1,2)與雙曲線的右頂點(diǎn)(1,0)在直線x＝1上，而x＝1為雙曲線的一條切線．
∴當(dāng)k不存在時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)k＝±或k＝或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)．