Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若不等式在時恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】分析：（1）求出的導函數，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，注意在解不等式時要按的值分類討論；

（2）由（1）的結論知當時，，題中不等式成立，而當時，題中不等式不恒成立；

（3）時，由（2）知上有，從而，令，然后所有不等式相加可證．

詳解： (1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，

y′＝－＝，

當a≥1時，y′≥0，所以函數y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數；

當0<a<1時，由y′>0得x>2，所以函數y＝f(x)－g(x)在上是單調遞增函數，函數y＝f(x)－g(x)在上是單調遞減函數；

(2)當a≥1時，函數y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數．

所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，

即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時恒成立，

當0<a<1時，函數y＝f(x)－g(x)是上的減函數，存在，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，

綜上，實數a的取值范圍是[1，＋∞)．

(3)當a＝1時，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)時恒成立，

即ln(x＋1)>，所以，

即< [ln(k＋1)－lnk]．

所以< (ln2－ln1)，

< (ln3－ln2)，

< (ln4－ln3)，…，

< [ln(n＋1)－lnn]．

將上面各式相加得到，＋＋＋…＋< [(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．

∴原不等式成立．