Question

如圖，已知定點F（-1，0），N（1，0），以線段FN為對角線作周長是4的平行四邊形MNEF．平面上的動點G滿足||=2（O為坐標原點）
（I）求點E、M所在曲線C₁的方程及動點G的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）已知過點F的直線l交曲線C₁于點P、Q，交軌跡C₂于點A、B，若||∈（），求△NPQ內切圓的半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據橢圓的定義，可得曲線C₁是以F、N為焦點的橢圓，由題中數據即可求出曲線C₁的方程為+y²=1；再由圓的定義即可得到動點G的軌跡C₂的方程為x²+y²=4；
（II）由題意得直線l與x軸不垂直，設l方程為y=k（x+1），利用點到直線的距離公式結合垂徑定理，算出|AB|=2．設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），△NPQ內切圓半徑r滿足|NF|•|y₁-y₂|=•r•（|PN|+|PQ|+|QN|），結合題中數據得到r=|y₁-y₂|，由直線方程與橢圓消去x，得關于y的二次方程，再利用根與系數的關系算出|y₁-y₂|關于k的式子，從而得到r關于k的函數關系式，結合函數的單調性討論可得r的取值范圍．
解答：解：（I）∵四邊形MNEF是平行四邊形，周長為4
∴點E到點F、N的距離之和等于2（定長），且|NF|=2＜2
由橢圓的定義，得曲線C₁的方程為+=1（a＞b＞0）
可得a=，c=1，b²=a²-c²=1，
∴曲線C₁的方程為+y²=1
∵||=2，∴動點G的軌跡為以原點為圓心，半徑為2的圓
即曲線C₂的方程為x²+y²=4；
（II）當l垂直x軸時，令x=-1代入曲線C₂的方程得y=
∴|AB|=2∉（），不符合題意
因此直線l與x軸不垂直，設l方程為y=k（x+1）
原點到直線l的距離為d=，
由圓的幾何性質，得到|AB|=2=2=2
由|AB|∈（），解之得k²＞
聯解，消去x得（2+）y²-y-1=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），△NPQ內切圓的半徑為r
可得y₁+y₂==，y₁y₂=-=-
∵|NF|•|y₁-y₂|=•r•（|PN|+|PQ|+|QN|），其中|NF|=2，|PN|+|PQ|+|QN|=4
∴r=|y₁-y₂|
而|y₁-y₂|===
∵，∴1-
別處，因為1-＜1，即＜|y₁-y₂|，可得r=|y₁-y₂|∈（，）
∴△NPQ內切圓的半徑的取值范圍為（，）．
點評：本題給出動點軌跡，求軌跡的方程并討論截得三角形內切圓半徑的取值范圍．著重考查了點到直線的距離公式、垂直定理、一元二次方程根與系數的關系和函數單調性等知識，屬于難題．