Question

（2013•靜安區一模）已知直線（1-a）x+（a+1）y-4（a+1）=0（其中a為實數）過定點P，點Q在函數y=x+

1

x

的圖象上，則PQ連線的斜率的取值范圍是

[-3，+∞）

．

Answer 1

分析：直線方程即 x+y-4+a（-x+y-4）=0，由

x+y-4=0 -x+y-4=0

，求得定點P的坐標，設點Q（m，m+

1

m

），m≠0，則PQ連線的斜率為為

m+ 1 m -4

m-0

=(

1

m

-2)2-3，再利用二次函數的性質求得它的范圍．

解答：解：已知直線（1-a）x+（a+1）y-4（a+1）=0即 x+y-4+a（-x+y-4）=0，
由 

x+y-4=0 -x+y-4=0

，解得

x=0 y=4

，故定點P的坐標為（0，4）．
設點Q（m，m+

1

m

），m≠0，則PQ連線的斜率為 

m+ 1 m -4

m-0

=1+

1

m2

-

4

m

=(

1

m

-2)2-3≥-3，
故PQ連線的斜率的取值范圍為[-3，+∞），
故答案為[-3，+∞）．

點評：本題主要考查直線過定點問題，直線的斜率公式，二次函數的性質應用，屬于中檔題．