Question

已知：命題q：集合A={x|x²+ax+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅．
（Ⅰ）若命題q為真命題，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若命題p：f(x)=

1-x

2

，且|f（a）|＜2，試求實數a的取值范圍，使得命題p，q有且只有一個為真命題．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對兩集合交集為空集要有充分的認識，要注意考慮一個集合為空集的情況．要有分類討論意識，準確將A∩B=∅進行合理轉化是解決本題的關鍵．結合集合B可知，集合A=∅或者A⊆（-∞，0]．
（Ⅱ）在第（Ⅰ）問a的范圍之下，求解出命題q成立的a的范圍，然后依據p真q假、p假q真分別得出關于實數a的不等式組，從而求解出實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為A∩B=∅，故集合A應分為A=∅和A≠∅兩種情況
（1）A=∅時，△=a²-4＜0?-2＜a＜2；
（2）A≠∅時，

△=a2-4≥0 x1+x2=-a＜0

?a≥2，所以A∩B=∅得a＞-2，
故實數a的取值范圍為a＞-2；
（Ⅱ）由|f（a）|＜2得|

1-a

2

|＜2，解得-3＜a＜5，若p真q假，則有

a＞-2 a≤-3或a≥5

，則a≥5；
若p假q真，則

a≤-2 -3＜a＜5

，即-3＜a≤-2，
故實數a的取值范圍為-3＜a≤-2或a≥5．

點評：本題主要考查了集合交集的定義，分類討論思想和等價轉化思想．將方程的根的問題進行適當的轉化，列出不等式是解決本題的關鍵．正確求解含絕對值的不等式，對命題p，q有且只有一個為真命題進行合適轉化也是正確求解本題所必需的．