Question

在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E、F為AD的兩個三等分點，AC和BF交于點G，△BEG的外接圓為⊙H．以DA所在直線為x軸，以DA中點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）求以F、E為焦點，DC和AB所在直線為準線的橢圓的方程．
（2）求⊙H的方程．
（3）設點P（0，b），過點P作直線與⊙H交于M，N兩點，若點M恰好是線段PN的中點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的標準方程，根據焦點坐標和準線方程求得c和的值，進而求得a和b，則橢圓方程可得．
（2）根據題意可知A，B，C，F的坐標，進而求得AC和BF的直線方程，聯立求得焦點G的坐標，進而求得EG，BF的斜率，根據二者的乘積為-1判斷出EG⊥BF，進而求得圓心和半徑，進而求得圓的標準方程．
（3）設M點的坐標為（x，y），則N點的坐標可知，代入圓的方程聯立求得8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0，判斷出點M在此直線上，進而根據點到直線的距離求得圓心到直線的距離小于或等于整理求得b的范圍．
解答：解；（1）由已知，設橢圓方程為，
由于焦點E的坐標為（1，0），它對應的準線方程為x=3，
所以c=1，，于是a²=3，b²=2，
所以所求的橢圓方程為：．

（2）由題意可知A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F（-1，0）．
所以直線AC和直線BF的方程分別為：x+3y-3=0，x-2y+1=0，
由解得所以G點的坐標為．
所以k_EG=-2，，
因為k_EG•k_BF=-1，所以EG⊥BF，
所以⊙H的圓心為BE中點H（2，1），半徑為，
所以⊙H方程為（x-2）²+（y-1）²=2．

（3）設M點的坐標為（x，y），則N點的坐標為（2x，2y-b），
因為點M，N均在⊙H上，所以，
由②-①×4，得8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0，
所以點M（x，y）在直線8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0，
又因為點M（x，y）在⊙H上，
所以圓心H（2，1）到直線8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0的距離，
即，
整理，得（b-1）⁴-12（b-1）²-28≤0，即[（b-1）²+2][（b-1）²-14]≤0，
所以，故b的取值范圍為．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．有效地考查考生分析問題、解決問題的能力．