Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

分析：法一（Ⅰ）連接BD，證明平面PBE內的直線BE，垂直平面PAB內的兩條相交直線PA，AB即可證明平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連接PF．過點A作AH⊥PB于H，∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）．
解Rt△AHG求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小．

法二：以A為原點，建立空間直角坐標系．
（Ⅰ）由

.

BE

=(0，

3

2

，0)，與平面PAB的一個法向量是

.

n0

=（0，1，0），
共線，說明BE⊥平面PAB，推出平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求出平面PBE的一個法向量，平面PAD的一個法向量，求兩個向量的數量積，即可求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小．

解答：解：解法一（Ⅰ）如圖所示，連接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形．
因為E是CD的中點，所以BE⊥CD，又AB∥CD，
所以BE⊥AB．又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連接PF．過點A作AH⊥PB于H，
由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE．
在Rt△ABF中，因為∠BAF=60°，
所以，AF=2AB=2=AP．
在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG．
則AG⊥PF．連接HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG．
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）．
在等腰Rt△PAF中，

20

10

=2
在Rt△PAB中，AH=

AP•AB

PB

=

AP•AB

AP2+AB2

=

2

5

=

2 5

5

．
所以，在Rt△AHG中，sin∠AGH=

AH

AG

=

2 5 5

2

=

10

5

．
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是arcsin

10

5

．

解法二：如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系．
則相關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（1，0，0），
C(

3

2

，

3

2

，0)，D(

1

2

，

3

2

，0)，P（0，0，2），E(1，

3

2

，0)．
（Ⅰ）因為

.

BE

=(0，

3

2

，0)，
平面PAB的一個法向量是

.

n0

=(0，1，0)，
所以

.

BE

和

.

n0

共線．從而BE⊥平面PAB．
又因為BE?平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）易知

PB

=(1，0，-2)，

BE

=(0，

3

2

，0)，

PA

=(0，0，-2)，

AD

=(

1

2

，

3

2

，0)
設

n

_=(x1，y1，z1)是平面PBE的一個法向量，
則由

n1 • PB =0 n1 • BE =0

得

x1+0×y1-2z1=0 0×x1+ 3 2 y2+0×z2=0.

所以y₁=0，x₁=2z₁．故可取

n1

=（2，0，1）．
設

n2

=(x2，y2，z2)是平面PAD的一個法向量，
則由

n2 • PA =0 n2 • AD =0

得

0×x2+0×y2-2z2=0 1 2 x2+ 3 2 y2+0×z2=0

所以z2=0，x2=-

3

y2．故可取

n2

=(

3

，-1，0)．
于是，cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2 3

5 ×2

=

15

5

．
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是arccos

15

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．