Question

在當(dāng)前市場經(jīng)濟(jì)條件下，某服裝市場上，尤其是私營個(gè)體商店中的商品，所標(biāo)價(jià)格a與其實(shí)際價(jià)值b之間存在著相當(dāng)大的差距，對購物的消費(fèi)者來說，總希望這個(gè)差距越小越好，而商家則相反，于是就有了消費(fèi)者與商家的“討價(jià)還價(jià)”，常見的方法是“對半還價(jià)法”，消費(fèi)者第一次減去定價(jià)的一半，商家第一次討價(jià)加上二者差價(jià)的一半；消費(fèi)者第二次還價(jià)再減去二者差價(jià)的一半，商家第二次討價(jià)，再加上二者差價(jià)的一半，如此下去，可得下表：

次數(shù)    消費(fèi)者還價(jià)        商家討價(jià)

第1次  b₁=a      c₁=b₁+(a-b₁)

第2次  b₂=c₁-(c₁-b₁)  c₂=b₂+(c₁-b₂)

第3次  b₃=c₂-(c₂-b₂)  c₃=b₃+(c₂-b₃)

…          …          …

第n次  b_n=c_n-1-(c_n-1-b_n-1)  c_n=b_n+(c_n-1-b_n)

    若將消費(fèi)者每次的還價(jià)b_n(n∈N^*)組成一個(gè)數(shù)列{b_n}.

(1)寫出此數(shù)列的前三項(xiàng)，并猜測通項(xiàng)b_n的表達(dá)式；

(2)若實(shí)際價(jià)格b與定出的價(jià)格a之比為b∶a=0.618∶1,則利用“對半還價(jià)法”的最終結(jié)果，商家將有約百分之幾的賺頭？

Answer 1

解：(1)b₁=a,

b₂=c₁-(c₁-b₁)=a+a=(-)a+(-)²a+(-)³a+a，

b₃=c₂-(c₂-b₂)=(-)a+(-)²a+…+(-)⁵a+a.

    由此猜想b_n=c_n-1-(c_n-1-b_n-1)=(-)a+(-)²a+…+(-)^2n-1a+a=-a［1+（）^2n-1］+a.

(2)∵b:a=0.618:1,

∴a=.

∴a=≈1.08b.

    故商家將有8%的賺頭.