Question

已知f(x)=e x+

1

e x

（1）證明函數f（x）在區間[0，+∞）上是增函數
（2）求函數f（x）在R上的最值．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導函數f′（x），再證得f′（x）≥0，從而證明函數f（x）在區間[0，+∞）上是增函數；
（2）利用導數求區間上的最值，要先求導函數，令導數為0解出極值點，即可求出函數f（x）在R上的最值．

解答：解：（1）f(x)=e x+

1

e x

∴f′(x)=e x-

1

e x

，
當x≥0時，e^x＞1，∴0＜

1

ex

≤1，
∴f′(x)=e x-

1

e x

≥0，
∴函數f（x）在區間[0，+∞）上是增函數；
（2）由（1）得f′(x)=e x-

1

e x

，令f′(x)=e x-

1

e x

=0，得x=0，
且當x＜0時，f′(x)=e x-

1

e x

＜0，∴函數f（x）在區間（-∞，0）上是減函數；
由（1）知函數f（x）在區間[0，+∞）上是增函數；
∴當x=0時，函數f（x）取得最小值2，無最大值．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性．屬于中檔題．