Question

將一塊圓心角為120°，半徑為20 cm的扇形鐵片截成一塊矩形，如圖，有2種裁法：讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪種裁法能得到最大面積的矩形，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：對甲種裁法分析設∠MOA=θ，則矩形的一邊為20sinθ，一邊為20cosθ，則得出面積，利用正弦函數取最值的方法求出最大面積；對乙種裁法分析設∠MOA=α利用三角函數表示出長為40sin（60°-α），再用相似三角形求得寬，進而表示出面積，利用余弦函數取最大值的方法求出最大面積．比較看哪個面積大即可．
解答：解：對圖甲，設∠MOA=θ，則S₁=200sin2θ．
∴當θ=45°時，（S₁）_max=200cm²．
對圖乙，設∠MOA=α，
則S₂=[cos（2α-60°）-cos60°]．
當α=30°時，（S₂）_max=cm²．
∵＞200，
∴用乙種方法好．
點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，以及運用兩角和與差的正弦函數的能力，求正弦函數最值的能力．