Question

已知兩不共線向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），則下列說法不正確的是（　　）

• A．|

  a

  |=|

  b

  |=1
• B．（

  a

  +

  b

  ）⊥（

  a

  -

  b

  ）
• C．

  a

  與

  b

  的夾角等于α-β
• D．

  a

  與

  b

  在

  a

  +

  b

  方向上的投影相等

Answer 1

分析：由模長公式可得|

a

|=|

b

|=1，故A正確；由數量積為0可得向量垂直，故B正確；由夾角公式可得向量夾角的余弦值，但角的范圍不一定，故C錯誤；而D由投影相等可與模長相等等價，結合A可知正確，故可得答案．

解答：解：由模長公式可得|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，|

b

|=

cos2β+sin2β

=1，即|

a

|=|

b

|，故A正確；
∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=|

a

|²-|

b

|²=0，∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

），故B正確；
由夾角公式可得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)．
當α-β∈[0，π]時，＜

a

，

b

＞=α-β；當α-β∉[0，π]時，＜

a

，

b

＞≠α-β，故C不正確；
由投影相等可得

a •( a + b )

| a + b |

=

b •( a + b )

| a + b |

?|

a

|2+

a

•

b

=

a

•

b

+|

b

|2?|

a

|=|

b

|，故D正確．
故選C

點評：本題考查向量的數量積的運算，涉及向量的模長和投影及夾角，屬中檔題．