Question

如圖，已知ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，設EA=1，FC=2；
（1）證明：平面EAB⊥平面EAD；
（2）求四面體BDEF的體積；
（3）求點B到平面DEF的距離．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明AB⊥平面EAD，即可證明平面EAB⊥平面EAD；
（2）利用四面體BDEF的體積V=V_ABCDEF-V_E-ABD-V_F-BCD=2V_B-ACFE-V_E-ABD-V_F-BCD，即可證明結論；
（3）由余弦定理知cos∠EDF=

5+8-9

2• 5 •2 2

=

1

10

，所以sin∠EDF=

3

10

，求出△DEF的面積，利用等體積，即可求點B到平面DEF的距離．

解答： （1）證明：由已知：AB⊥EA，AB⊥DA，所以AB⊥平面EAD，
而AB⊆平面EAB，所以平面EAB⊥平面EAD；
（2）解：四面體BDEF的體積V=V_ABCDEF-V_E-ABD-V_F-BCD=2V_B-ACFE-V_E-ABD-V_F-BCD

=2( 1 3 SACFE• 1 2 BD)- 1 3 S△ABD•EA- 1 3 S△BCD•FC =2[ 1 3 • (1+2)×2 2 2 • 2 ]- 1 3 ×2×1- 1 3 ×2×2=2

所以四面體BDEF的體積為2
（3）解：先求△DEF的三條邊長：DE=

EA2+AD2

=

5

，DF=

FC2+CD2

=2

2

，
在直角梯形ACFE中，EF=3，
由余弦定理知cos∠EDF=

5+8-9

2• 5 •2 2

=

1

10

，所以sin∠EDF=

3

10

，S△DEF=

1

2

•DE•DF•sin∠EDF=

1

2

×

5

×2

2

×

3

10

=3；
設點B到平面DEF的距離為h，由體積法知：VBDEF=

1

3

S△DEF•h=

1

3

×3×h=2，解出h=2
所以點B到平面DEF的距離為2．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．