Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=2x-2．
（1）試判斷函數F（x）=（x²+1）f （x）-g（x）在[1，+∞）上的單調性；
（2）當0＜a＜b時，求證：函數f（x）定義在區間[a，b]上的值域的長度大于

2a(b-a)

a2+b2

（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）．
（3）方程f（x）=

1

ex

-

2

ex

是否存在實數根？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=lnx，g（x）=2x-2，我們易得到函數F（x）=（x²+1） f （x）-g（x）的解析式，利用導數法易判斷出函數在區間[1，+∞）上導函數的值，進而判斷出其單調性．
（2）若要證明函數f （x）定義在區間[a，b]上的值域的長度大于

2a(b-a)

a2+b2

，即證lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

，構造函數，結合函數的單調性易得結論．
（3）由f（x）=

1

ex

-

2

ex

?xlnx=

x

ex

-

2

e

 (x＞0)，我們可以構造函數h（x）=xlnx（x＞0）．利用導數法判斷h（x）的單調性，求出其最值后，即可得到結論．

解答：解（1）∵F（x）=（x²+1）lnx-2x+2．
∴F′（x）=2xlnx+

x2+1

x

-2=2xlnx+

(x-1)2

x

．
∴當x≥1時，F′（x）≥0且僅當x=1時F′（x）=0
∴F（x）在（1，+∞）上單調遞增（4分）
（2）∵0＜a＜b，f（x）在[a，b]上的值域為[lna，lnb]
∴要證值域的長度大于

2a(b-a)

a2+b2

，
即證lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

只要證ln

b

a

＞

2( b a -1)

1+( b a )2

∵0＜a＜b，
∴

b

a

＞1，令

b

a

=x
則只要證lnx＞

2(x-1)

1+x2

（x＞1）
即證（x²+1）lnx-（2x-2）＞0（※）
由（1）可知F（x）在（1，+∞）上單調遞增∴F（x）＞F（1）=0
所以（※）式成立．
∴f（x）在[a，b]上的值域的長度大于

2a(b-a)

a2+b2

．（9分）
（3）∵f（x）=

1

ex

-

2

ex

?xlnx=

x

ex

-

2

e

 (x＞0)
令h（x）=xlnx（x＞0）．則h′（x）=lnx+1
當x∈（0，

1

e

）時h′（x）＜0，h（x）單調遞減；
當x∈（

1

e

，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增．所以h（x）_min=h（

1

e

）=-

1

e

．
令空集（x）=

x

ex

-

2

e

(x＞0)，則∅′(x)=

1-x

ex

，
當x∈（0，1），空集'（x）＞0，空集（x）單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，空集'（x）＜0，空集（x）單調遞減．
∴C（x）_max=∅(1)=-

1

e

所以方程f（x）=

1

ex

-

2

ex

沒有實根（13分）

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷及函數單調性的判斷與證明，利用導數法是判斷函數單調性及求函數的最值是導數應用的重要方面，要求大家熟練掌握．