Question

已知函數在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）證明a＞0；（2）若z=a+2b，求z的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導函數，因為函數在x=x₁和x=x₂取得極值得到：x₁，x₂是導函數等于0的兩個根．表示出導函數，因為x＜x₁函數為增函數，得到導函數大于0，根據不等式取解集的方法即可得到a的范圍；
（2）由0＜x₁＜1＜x₂＜2得到導函數在x=0、2時大于0，導函數在x=1時小于0，得到如圖所示的三角形ABC，求出三個頂點的坐標即可得到相應的z值，得到z的取值范圍即可．
解答：解：求出函數f（x）的導函數f'（x）=ax²-2bx+2-b．
（1）由函數f（x）在x=x₁處取得極大值，
在x=x₂處取得極小值，知x₁，x₂是f'（x）=0的兩個根．
所以f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
當x＜x₁時，f（x）為增函數，f'（x）＞0，
由x-x₁＜0，x-x₂＜0，得a＞0．
（2）在題設下，0＜x₁＜1＜x₂＜2等價于，
即，
化簡得．
此不等式組表示的區域為平面aOb上三條直線：2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0．
所圍成的△ABC的內部，其三個頂點分別為：．
z在這三點的值依次為．
所以z的取值范圍為．
點評：本題考查學生會利用導數研究函數的極值，會利用數形結合法進行簡單的線性規劃．在解題時學生應注意利用數形結合的數學思想解決問題．