Question

【題目】已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點． （Ⅰ）若 ，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：依題意F（1，0），設直線AB方程為x=my+1 將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），所以 y1+y2=4m，y1y2=﹣4． ①
因為 ，
所以 y1=﹣2y2 ． ②
聯立①和②，消去y1 ， y2 ， 得 ．
所以直線AB的斜率是 ．
（Ⅱ）解：由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點，
從而點O與點C到直線AB的距離相等，
所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB ．
因為
= ，
所以 m=0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4．
【解析】（Ⅰ）依題意F（1，0），設直線AB方程為x=my+1．將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能夠求出直線AB的斜率．（Ⅱ）由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB ． 由此能求出四邊形OACB的面積最小值．