Question

在△ABC中，a比b大2，b比c大2，且最大角的正弦值為

3

2

，則三角形△ABC的面積是

15 3

4

．

Answer 1

分析：由題意根據大邊對大角可得A為最大角，進而得到sinA的值為

3

2

，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，可得cosA的值，根據余弦定理求出方程的解即可得到c的值，從而確定出a與b的值，然后再由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．

解答：解：由題意可得a-b=2，且b-c=2，得到a＞b＞c，可知A＞B＞C，即A為最大角，
所以sinA=

3

2

，所以A=60°或120°．
又A為最大角，所以A=120°，即cosA=-

1

2

．
由a-b=2，b-c=2變形得：a=c+4，b=c+2，根據余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：
（c+4）²=（c+2）²+c²+c（c+2），化簡得：（c-3）（c+2）=0，
解得：c=3或c=-2（舍去）．
所以a=7，b=5，又sinA=

3

2

，則△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

15 3

4

，
故答案為

15 3

4

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式以及特殊角的三角函數值，根據三角形的邊角關系得出A為最大角是本題的突破點，熟練掌握定理及公式，牢記特殊角的三角函數值是解本題的關鍵，同時要理解A不能為60°．