Question

已知動圓P與兩圓（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一個內切，另一個外切．
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）過（2，0）作直線l交曲線E于A、B兩點，使得|AB|=2

2

，求直線l的方程；
（3）若從動點P向圓C：x²+（y-4）²=1作兩條切線，切點為A、B，設|PC|=t，試用t表示

PA

•

PB

，并求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據動圓P與兩圓（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一個內切，另一個外切，可得點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，實軸長為2

2

的雙曲線，由此可得動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）分類討論，設出直線方程代入雙曲線方程，結合|AB|=2

2

，可求直線l的方程；
（3）利用向量的數量積公式，表示出

PA

•

PB

，利用函數的單調性，即可求

PA

•

PB

的取值范圍．

解答：解：（1）設兩圓的圓心分別為M，N，則
∵動圓P與兩圓（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一個內切，另一個外切
∴||PM|-|PN||=2

2

，∴點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，實軸長為2

2

的雙曲線．
即a=

2

，c=2，∴b=

2

∴所求的W的方程為x²-y²=2；
（2）若k不存在，即x=2時，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

滿足題意；
若k存在，可設l：y=k（x-2），代入雙曲線方程，可得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由

1-k2≠0 △＞0

，可得k≠±1
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=

8k2+8

|1-k2|

•

1+k2

=2

2

，∴k=0即l：y=0
∴直線l的方程為x=2或y=0；
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=（t2-1）（1-2sin2APC）=（t2-1）[1-2（

1

t

）²]=

(t2-1)(t2-2)

t2

又t²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
∴

PA

•

PB

=

(t2-1)(t2-2)

t2

=t2+

2

t2

-3
∵f（t）=t2+

2

t2

-3在[

10

，+∞）是增函數，
∴f（t）≥10+

2

10

-3=7

1

5

∴

PA

•

PB

的取值范圍是[7

1

5

，+∞）．

點評：本題考查雙曲線方程和直線方程的求法，考查向量知識的運用，靈活運用圓錐曲線的性質和向量數量積計算公式是解題的關鍵．