Question

四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）作PO⊥CD于O，連接OA，由側面PDC與底面ABCD垂直，則PO⊥面ABCD．所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，知OA⊥CD，分別以OA，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明PA⊥CD．
（2）分別求出平面ABP的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能夠求出二面角P-AB-D的大小．

解答：解：（1）作PO⊥CD于O，連接OA
由側面PDC與底面ABCD垂直，則PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
則∠DOA=90°，即OA⊥CD
分別以OA，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
由已知P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），D（0，-1，0），C（0，1，0），
∴

PA

=（

3

，0，-

3

），

CD

=（0，-2，0），
∴

PA

•

CD

=0，∴

PA

⊥

CD

，
∴PA⊥CD．
（2）∵P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），B（

3

，2，0），D（0，-1，0），
∴

PA

=（

3

，0，-

3

），

PB

=（

3

，2，-

3

），

DA

=(

3

，1，0)，

DB

=（

3

，3，0）
設平面ABP的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，則

m

•

PA

=0，

m

•

PB

=0，
∴

3 x1- 3 z1=0 3 x1+2y1- 3 z1=0

，解得

m

=（1，0，1）．
設平面ABD的法向量為

n

=(x2，y2，z2)，則

n

•

DA

=0，

n

•

DB

=0，
∴

3 x2+y2=0 3 x2+3y2=0

，解得

n

=（0，0，1），
設二面角P-AB-D的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

2 ×1

|=

2

2

，
∴θ=45°，
故二面角P-AB-D的大小為45°．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．