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（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD

(I) 求證：平面PAD⊥平面PCD

(II) 試在平面PCD上確定一點 E 的位置，使 |\S\UP6(→| 最小，并說明理由；

(III) 當AD = AB時，求二面角A－PC－D的余弦值.

（本小題滿分14分）

解：(I) 證：

平面PAD⊥平面PCD

1分 2分 4分

(II) 解：設 E 為PD中點，連 AE ………… 5分

由△PAD為正三角形得 AE⊥PD ………… 6分

又平面PAD⊥平面 PCD

∴ AE⊥平面PCD ………… 7分

由幾何意義知，PD中點 E，即為平面PCD上使 |\S\UP6(→| 最小的唯一點。 ………… 8分

(III) 解：過E作EG⊥PC，垂足為G，連AG， ………… 9分

由 (II) 知AE⊥平面PCD，

∴ AG⊥PC ………… 10分

∴ ∠AGE是二面角A－PC－D的平面角. ………… 11分

設底面正方形邊長為2a，

∴ AD = 2a，ED = a，∴ AE = a

由 = ，∴ EG = ………… 12分

tan∠AGE = = = ………… 13分

∴ cos∠AGE = ………… 14分

練習冊系列答案

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