Question

【題目】已知函數 ．
（Ⅰ）求f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，x1+x2＜0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵ ，∴f′（x）= ，
∴f′（0）=0，f（0）=1
∴f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1；
（Ⅱ）證明：當x＜1時，由于 ＞0，ex＞0，得到f（x）＞0；
同理，當x＞1時，f（x）＜0．
當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，不妨設x1＜x2 ．
當x＜0時，f′（x）＞0；當x＞0時，f′（x）＜0．
∴函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，0），單調遞減區間為（0，+∞）．
可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．
下面證明：x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即證 ＜ ．
此不等式等價于（1﹣x）ex﹣ ＜0．
令g（x）=（1﹣x）ex﹣ ，則g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即（1﹣x）ex﹣ ＜0．
∴x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．
而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．
從而，f（x1）＜f（﹣x2）．
由于x1 ， ﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，
∴x1＜﹣x2 ， 即x1+x2＜0
【解析】（Ⅰ）利用導數的運算法則求出f′（x），求出切線斜率，即可求f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，不妨設x1＜x2 ． 由（Ⅰ）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用導數先證明：x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1 ， ﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，因此得證．