Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的倍且經過點M
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）過圓上的任一點作圓的一條切線交橢圓C與A、B兩點
①求證：
②求|AB|的取值范圍

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓的長半軸長為，短軸長為，則由題意可得：
，所以橢圓的方程為；
（Ⅱ）①當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為
或滿足
當切線斜率存在時，可設的方程為.解方程組得,即, .   
則△=,即
,



②由①可知：



當時
因為所以,
所以,
所以當且僅當時取”=”
當時,.
當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,
綜上, |AB |的取值范圍為即:

略