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解答題

已知梯形ABCD中，AD∥BC，，AB＝BC＝2AD＝4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE＝x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖)．

(1)

當x＝2時，求證：BD⊥EG；

(2)

若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；

(3)

當f(x)取得最大值時，求二面角D－BF－C的大小．

答案：
解析：

(1)

解：∵平面平面，AE⊥EF，∴AE⊥面平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，故可建立空間坐標系E－xyz．則A(0，0，2)，B(2，0，0)，G(2，2，0)，

D(0，2，2)，E(0，0，0)

(－2，2，2)(2，2，0)

(－2，2，2)(2，2，0)＝0，∴……4分；

(2)

解：∵AD∥面BFC，V_A－BFC＝＝·4·(4－x)·x

即時有最大值為．……8分

(3)

解：設平面DBF的法向量為，∵AE＝2，B(2，0，0)，D(0，2，2)，

F(0，3，0)，∴(－2，2，2)，

則，即，

取x＝3，則y＝2，z＝1，∴……11分

面BCF的一個法向量為

則cos<>＝……13分

二面角D－BF－C的平面角為π－arccos……14分

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，點E，F分別為線段AB，CD的中點，則EF=

．
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（

，

3π

）

（

，

3π

）

．
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