Question

用二分法研究方程lnx+2x-6=0的一個近似解x=x₀的問題．
（1）若借助計算器，算得
第一次：f（2）＜0，f（3）＞0⇒x₀∈

（2，3）

；
第二次：

f（2.5）＜0，f（3）＞0⇒x₀∈（2.5，3）

；
第三次：f（2.5）＜0，f（2.75）＞0⇒x₀∈（2.5，2.75）；
第四次：f（2.5）＜0，f（2.625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.625）；
第五次：f（2.5）＜0，f（2.5625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.5625）；
第六次：f（2.53125）＜0，f（2.5625）＞0⇒x₀∈（2.53125，2.5625）；
…
（2）若精確度為0.1，至少需算

5

次，近似解x₀=

2.5625

．

Answer 1

分析：（1）由根的存在性定理知，當f（a）•f（b）＜0，存在根x₀∈（a，b）；再取x₁=

a+b

2

，驗證f（a）•f（x₁）＜0，還是f（x₁）•f（b）＜0，進一步確定根x₀所在的區間；
（2）精確度為0.1時，區間長度小于0.1，且端點對應的函數值的符號相反，滿足此兩個條件即可．

解答：解：（1）第一次：∵f（2）•f（3）＜0，∴x₀∈（2，3）；
第二次：取x=

2+3

2

=2.5，∵f（2.5）•f（3）＜0，∴x₀∈（2.5，3）；
第三次：取x=

2.5+3

2

=2.75，由f（2.5）＜0，f（2.75）＞0⇒x₀∈（2.5，2.75）；
第四次：取x=

2.5+2.75

2

=2.625，由f（2.5）＜0，f（2.625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.625）；
第五次：取x=

2.5+2.625

2

=2.5625，由f（2.5）＜0，f（2.5625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.5625）；
（2）當區間長度為：2.5625-2.5=0.0625＜0.1時，精確度為0.1；
∴至少需算5次，此時近似解x₀=2.5625；
故答案為：（2，3），f（2.5）＜0，f（3）＞0⇒x₀∈（2.5，3）；
5，2.5625．

點評：本題考查了二分法求函數在某一區間上的近似解問題，解題時，每次都取端點函數值異號的區間，直到區間長度小于或等于所要求的精確度為止．