Question

已知f(x)=

2

3

x(x2-3ax-

9

2

)(a∈R)．
（I）若過函數f（x）圖象上一點P（1，t）的切線與直線x-2y+b=0垂直，求t的值；
（II）若函數f（x）在（-1，1）內是減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，求出導函數在x=1處的值，即切線的斜率，利用兩直線垂直斜率之積為-1，列出方程求出a的值．
（2）令導函數在（-1，1）上的值小于等于0恒成立，解決二次不等式恒成立結合二次函數的圖象，令區間兩個端點的值小于等于0．

解答：解：（1）∵f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x，∴f'（x）=2x²-4ax-3．
則過P（1，t）的切線斜率為k=f′（1）=-1-4a．（2分）
又∵它與直線x-2y+b=0垂直，∴-1-4a=-2，即a=

1

4

，．（4分）
∴f(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-3x又∵P（1，t）在f（x）的圖象上，∴t=-

17

6

（6分）
（2）∵函數f（x）在（-1，1）內是減函數
∴f'（x）=2x²-4ax-3≤0對于一切x∈（-1，1）恒成立．（8分）
∵二次函數f'（x）的圖象開口向上，
∴

f′(-1)=2+4a-3≤0 f′(1)=2-4a-3≤0

（10分）
∴-

1

4

≤a≤

1

4

（12分）

點評：已知函數的單調性求參數的范圍，當遞增時，令其導數大于等于0恒成立；當遞減時，令其導數小于等于0恒成立