Question

（2013•唐山二模）某校學(xué)習(xí)小組開(kāi)展“學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)與外語(yǔ)成績(jī)的關(guān)系”的課題研究，對(duì)該校高二年級(jí)800名學(xué)生上學(xué)期期末語(yǔ)文和外語(yǔ)成績(jī)，按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得結(jié)果：語(yǔ)文和外語(yǔ)都優(yōu)秀的有60人，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀但外語(yǔ)不優(yōu)秀的有140人，外語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀但語(yǔ)文不優(yōu)秀的有100人．
（Ⅰ）能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)與外語(yǔ)成績(jī)有關(guān)系？
（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從該校高二年紀(jì)學(xué)生成績(jī)中，有放回地隨機(jī)抽取3名學(xué)生的成績(jī)，記抽取的3個(gè)成績(jī)中語(yǔ)文、外語(yǔ)兩科成績(jī)至少有一科優(yōu)秀的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望E（X）．

p（K2≥k0）	0.010	0.005	0.001
k0	6.635	7.879	10.828

附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得列聯(lián)表，可計(jì)算K²≈16.667＞10.828，可得結(jié)論；
（Ⅱ）可得語(yǔ)文、外語(yǔ)兩科成績(jī)至少一科為優(yōu)秀的頻率是

3

8

，X～B（3，

3

8

），P（X=k）=

C

k 8

（

3

8

）^k（

5

8

）^8-k，k=0，1，2，3，計(jì)算可得各個(gè)概率，可得分布列，進(jìn)而可得期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意得列聯(lián)表：

	語(yǔ)文優(yōu)秀	語(yǔ)文不優(yōu)秀	總計(jì)
外語(yǔ)優(yōu)秀	60	100	160
外語(yǔ)不優(yōu)秀	140	500	640
總計(jì)	200	600	800

因?yàn)镵²=

800(60×500-100×140)2

160×640×200×600

≈16.667＞10.828，
所以能在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生母語(yǔ)對(duì)于學(xué)習(xí)和掌握一門(mén)外語(yǔ)有關(guān)系．…（5分）
（Ⅱ）由已知數(shù)據(jù)，語(yǔ)文、外語(yǔ)兩科成績(jī)至少一科為優(yōu)秀的頻率是

3

8

．
則X～B（3，

3

8

），P（X=k）=

C

k 3

（

3

8

）^k（

5

8

）^3-k，k=0，1，2，3．
X的分布列為

X	0	1	2	3
p	125 512	225 512	135 512	27 512

所以E（X）=3×

3

8

=

9

8

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬中檔題．