Question

【題目】求函數y= 的定義域、值域和單調區間．

Answer 1

【答案】解：根據題意，函數的定義域顯然為（﹣∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x﹣x2=4﹣（x﹣1）2≤4．
∴y=3u是u的增函數，
當x=1時，ymax=f（1）=81，而y= ＞0．
∴0＜3u≤34 ， 即值域為（0，81]．
當x≤1時，u=f（x）為增函數，y=3u是u的增函數，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函數單調增區間為（﹣∞，1]；
其證明如下：
任取x1 ， x2∈（﹣∞，1]且令x1＜x2
則 = ÷ = = =

∵x1＜x2 ， x1 ， x2∈（﹣∞，1]
∴x1﹣x2＜0，2﹣x1﹣x2＞0
∴（x1﹣x2）（2﹣x1﹣x2）＜0
∴ ＜1
∴f（x1）＜f（x2）
∴原函數單調增區間為（﹣∞，1]
當x＞1時，u=f（x）為減函數，y=3u是u的增函數，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函數單調減區間為[1，+∞）．
證明同上．
【解析】根據題意，定義域的求解易知為（﹣∞，+∞），值域的求解通過換元法將3+2x﹣x2換成u，通過二次函數的知識求得u的范圍為（﹣∞，4]，再根據指數函數y=3u的單調性即可求解
利用復合函數的單調性的特點（根據同增異減口訣，先判斷內層函數的單調性，再判斷外層函數單調性，在同一定義域上，若兩函數單調性相同，則此復合函數在此定義域上為增函數，反之則為減函數）判斷出函數的單調區間，在根據定義：（就是定義域內的任意取x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 比較f（x1），f（x2）的大小，或f（x1）＜f（x2）則是增函數；反之則為減函數）證明即可
【考點精析】本題主要考查了指數函數的單調性與特殊點的相關知識點，需要掌握0<a<1時:在定義域上是單調減函數;a>1時:在定義域上是單調增函數才能正確解答此題．