Question

已知函數f（x）=+lnx-1（a是常數，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函數f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a=1時，方程f（x）=m在上有兩解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據x=2是函數f（x）的極值點則f′（2）=0，可求出a的值，然后求出f′（1）得到切線的斜率，最后根據點斜式可求出切線方程；
（II）先求導函數，然后利用導數研究函數在 上的單調性，求出函數的極值和區間端點的函數值，從而可求出m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ） 定義域為（0，+∞），f′（x）=a×（-）+=
∵x=2是函數f（x）的極值點，
∴f′（2）==0，解得a=2
∴f′（x）=∴f′（1）=-1
又f（1）=1
∴所求切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0為所求．…6分
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=，f′（x）=，其中，
當x∈[，1）時，f′（x）＜0；x∈（1，e²]時，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在 上唯一的極小值點，
∴[f（x）]_min=f（1）=0
又f（）=e-2，f（e²）==，f（）-f（e²）=e-2--1＜0
綜上，所求實數m的取值范圍為{m|0＜m≤e-2}．…12分．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數在某點處的切線，以及利用導數研究函數在閉區間上的值域，同時考查了計算能力，屬于中檔題．